Question

【題目】已知點(diǎn)P是橢圓E:+y2=1上的任意一點(diǎn),F1,F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)Q滿足.

(1)求動點(diǎn)Q的軌跡方程;

(2)若已知點(diǎn)A(0,-2),過點(diǎn)A作直線l與橢圓E相交于B,C兩點(diǎn),求△OBC面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

(1)根據(jù)橢圓方程，寫出兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)出動點(diǎn)Q，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出P與Q的關(guān)系，再根據(jù)P在橢圓上，進(jìn)而求得動點(diǎn)Q的軌跡方程。

(2)首先根據(jù)題意可知直線的斜率必定存在，又因?yàn)檫^點(diǎn)A，可利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程。聯(lián)立橢圓，設(shè)出B(x1,y1),C(x2,y2)的坐標(biāo)；利用判別式大于0，可求得k的取值范圍；利用韋達(dá)定理表示出三角形OBC的面積，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可求得最后面積的最大值。

(1)∵a2=4,b2=1,∴c=.

∴F1(-,0),F2(,0).

設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),

∵動點(diǎn)Q滿足,

∴

解得x0=-,y0=-,

又(x0,y0)在+y2=1上,代入橢圓方程可得=1,∴動點(diǎn)Q的軌跡方程為=1.

(2)由題意可知:直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx-2,B(x1,y1),C(x2,y2).

聯(lián)立整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

由Δ>0,解得k2>.

∴x1+x2=,x1x2=.

S△OBC=S△OAC-S△OAB=|OA|·(|x2|-|x1|)=|x2-x1|=

=.

令=t>0,化為4k2=t2+3.

∴S△OBC==1,

當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號,此時(shí)k=±.

∴(S△OBC)max=1.