Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=

1

2

BC，E是底邊BC上的一點，且EC=3BE．現(xiàn)將△CDE沿DE折起到△C₁DE的位置，得到如圖2所示的四棱錐C₁-ABED，且C₁A=AB．
（1）求證：C₁A⊥平面ABED；
（2）若M是棱C₁E的中點，求直線BM與平面C₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)AD=AB=

1

2

BC=1，利用勾股定理的逆定理可以判斷C₁A⊥AD，C₁A⊥AE；
（2）由（1）知：C₁A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分別以AB，AD，AC₁為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，明確平面的法向量的坐標和

BM

的坐標，利用直線與平面的法向量的夾角的余弦值等于線面角的正弦值解答．

解答： 解：（1）設(shè)AD=AB=

1

2

BC=1，則C₁A=1，C₁D=

2

，
∴C1A2+AD2=C1D2，
∴C₁A⊥AD，…（2分）
又∵BE=

1

2

，C₁E=

3

2

∴AE²=AB²+BE²=

5

4

∴C1A2+AE2=

9

4

=C1E2
∴C₁A⊥AE …（4分）
又AD∩AE=E
∴C₁A⊥平面ABED； …（5分）
（2）由（1）知：C₁A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分別以AB，AD，AC₁為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，如圖，…（6分）
則B（1，0，0），C₁（0，0，1），E（1，

1

2

，0），D（0，1，0），
∵M是C₁E的中點，
∴M（

1

2

，

1

4

，

1

2

），
∴

BM

=（-

1

2

，

1

4

，

1

2

），…（8分）
設(shè)平面C₁DE的法向量為

n

=（x，y，z），

DE

=(1，-

1

2

，0)，

DE

=(0，1，-1)     
由

n • DE =0 n • C1D =0

 即

x- 1 2 y=0 y-z=0

，令y=2，得

n

=（1，2，2）…（10分）
設(shè)直線BM與平面C₁DE所成角為θ，則sinθ=|

n • BM

| n || BM |

|=

4

9

∴直線BM與平面C₁DE所成角的正弦值為

4

9

．…（12分）

點評：本題考查了線面垂直的判定定理的運用以及利用空間向量解決線面角的問題，屬于中檔題．