Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，將△ADE，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．
（Ⅰ）求證：平面A′DE⊥平面A′EF；
（Ⅱ）求三棱錐A′-DEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：證明題

分析：（Ⅰ）折疊前后不變的是，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，得到A′D⊥平面A′EF，從而證明平面A′DE⊥平面A′EF；
（Ⅱ）將求三棱錐A′-DEF的體積轉(zhuǎn)化成求三棱錐D-A′EF的體積，再進(jìn)一步代入計算．

解答： 解：（Ⅰ）折疊前，AD⊥AE，CD⊥CF，
折疊后，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又∵A′E∩A′F=A′，
∴A′D⊥平面A′EF，
∵A′D?平面A′DE，
∴平面A′DE⊥平面A′EF．
（Ⅱ）∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
∴AE=BE=BF=1，EF=

2

，
折疊后，A′E=A′F=1，
∴A′E²+A′F²=EF²，∴A′E⊥A′F．
∴S△A′EF=

1

2

A′E×A′F=

1

2

×1×1=

1

2

，
由（Ⅰ），知A′D⊥平面A′EF，
∴VA′-DEF=VD-A′EF=

1

3

S△A′EF•A′D=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

．

點評：在幾何體的體積求解過程中，等體積法是經(jīng)常用到的方法之一，除此之外，還有公式、割補法等常用方法．