Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

8

=1的右焦點(diǎn)為F，設(shè)點(diǎn)A（2，1），P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若|PA|+3|FP|最小，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先作出圖形來(lái)，過(guò)點(diǎn)P向橢圓右準(zhǔn)線做垂線，垂足為B，根據(jù)橢圓方程求得離心率和準(zhǔn)線方程，再根據(jù)橢圓的定義找到取得最值的狀態(tài)求解．

解答： 解：∵橢圓

x2

9

+

y2

8

=1的a=3，b=2

2

，c=1，
e=

1

3

，
∴|PA|+3|FP|即為：|PA|+

1

e

|PF|
∴根據(jù)橢圓的第二定義：
過(guò)A作右準(zhǔn)線的垂線x=9，交與B點(diǎn)，
則|PA|+

1

e

|PF|的最小值為|AB|
∵|AB|=8
∴|PA|+

1

e

|PF|的最小值為：8．此時(shí)，

x2

9

+

1

8

=1，解得x=±

3 14

4

，由題意，結(jié)合圖形，可知x=

3 14

4

，
P的坐標(biāo)（

3 14

4

，1）
故答案為：（

3 14

4

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生的作圖能力和應(yīng)用橢圓的定義來(lái)求最值的能力，主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生對(duì)橢圓基本知識(shí)的理解和應(yīng)用．