【題目】如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,,.

1)證明:;

2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;

3)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線所成的角最小時(shí),求線段的長(zhǎng).

【答案】1)證明見解析;(2;(3.

【解析】

1)在四棱錐中, 平面,得到,由四邊形為直角梯形,得到,再由線面垂直的判定定理,證得平面,進(jìn)而得到

2)以為原點(diǎn),以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.

3)由(2),設(shè),利用換元法求得,結(jié)合上的單調(diào)性,即可計(jì)算得到結(jié)論.

1)由題意,在四棱錐中,平面,

因?yàn)?/span>平面,所以,

又由四邊形為直角梯形,所以,

因?yàn)?/span>,且平面

所以平面,

又因?yàn)?/span>平面,所以

2)以為原點(diǎn),以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

可得,

由題意,可得,又由,可得平面

所以是平面的一個(gè)法向量,

又由

設(shè)平面的法向量為,

,取,可得,

所以

所以平面與平面所成二面角的余弦值為

3)由(2)可得,設(shè),

,則,

,從而,

設(shè),

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),的最大值為

因?yàn)?/span>上是減函數(shù),此時(shí)直線所成的角取得最小值,

又因?yàn)?/span>,所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線ly=x+4,動(dòng)圓⊙Ox2+y2=r2(1<r<2),菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為60°,頂點(diǎn)A、B在直線l上,頂點(diǎn)C、D在⊙O.當(dāng)r變化時(shí),求菱形ABCD的面積S的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】,,…,是一個(gè)數(shù)列對(duì)每個(gè),.如果,兩數(shù)不同,;如果,兩數(shù)相同.于是得到一個(gè)新數(shù)列,…,,其中.重復(fù)上述方法,得到一個(gè)由01兩個(gè)數(shù)字組成的三角形數(shù)表,最后一行僅一個(gè)數(shù)字,求這張數(shù)字表中1的和的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】類似于平面直角坐標(biāo)系,定義平面斜坐標(biāo)系:設(shè)數(shù)軸、的交點(diǎn)為,與、軸正方向同向的單位向量分別是、,且的夾角為,其中,由平面向量基本定理:對(duì)于平面內(nèi)的向量,存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì),使得,把叫做點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo),也叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記為,在平面斜坐標(biāo)系內(nèi),直線的方向向量、法向量、點(diǎn)方向式方程、一般式方程等概念與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)概念以相同方式定義,如時(shí),方程表示斜坐標(biāo)系內(nèi)一條過(guò)點(diǎn),且方向向量為的直線.

1)若,,求

2)若,已知點(diǎn)和直線;

①求的一個(gè)法向量;

②求點(diǎn)到直線的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線方程經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn).

(1)求垂直于直線的直線的方程;

(2)求與坐標(biāo)軸相交于兩點(diǎn),且以為中點(diǎn)的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知A4,0)、B1,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|AM|=2|BM|

1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;

2)直線lx+y=4,點(diǎn)Nl,過(guò)N作軌跡C的切線,切點(diǎn)為T,求NT取最小時(shí)的切線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某市電視臺(tái)為了宣傳舉辦問(wèn)答活動(dòng),隨機(jī)對(duì)該市1565歲的人群抽樣了人,回答問(wèn)題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示.

組號(hào)

分組

回答正確
的人數(shù)

回答正確的人數(shù)
占本組的概率

1


5

0.5

2



0.9

3


27


4



0.36

5


3


(Ⅰ) 分別求出的值;

(Ⅱ) 從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,則第2,3,4組每組應(yīng)各抽取多少人?

(Ⅲ) (Ⅱ)的前提下,電視臺(tái)決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng),求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地區(qū)現(xiàn)有一個(gè)直角梯形水產(chǎn)養(yǎng)殖區(qū)ABCDABC=90°,ABCD,AB=800m,BC=1600mCD=4000m,在點(diǎn)P處有一燈塔(如圖),且點(diǎn)PBC,CD的距離都是1200m,現(xiàn)擬將養(yǎng)殖區(qū)ACD分成兩塊,經(jīng)過(guò)燈塔P增加一道分隔網(wǎng)EF,在AEF內(nèi)試驗(yàn)養(yǎng)殖一種新的水產(chǎn)品,當(dāng)AEF的面積最小時(shí),對(duì)原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最。O(shè)AE=d

1)若PEF的中點(diǎn),求d的值;

2)求對(duì)原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小時(shí)的d的值,并求AEF面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),有成立,且時(shí),.

1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;

2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;

3)已知(實(shí)數(shù)),求實(shí)數(shù)的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案