Question

已知集合A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f[f（x）]，x∈R}，其中f（x）是一個二次項系數為1的二次函數，若A是單元素集合時，求證：A=B．

Answer 1

考點：集合的相等

專題：集合

分析：集合A與B，即方程f（x）=x的解集和方程f[f（x）]=x的解集，分別解方程即可得到A、B，從而得出A與B的關系

解答： 證明：∵f（x）是一個二次項系數為1的二次函數，
設f（x）=x²+bx+c
∵A是單元素集合，設A={t}，則f（x）-x=（x-t）²，f（x）=（x-t）²+x
對于B：x=[f（x）-t]²+f（x）=[（x-t）²+x-t]²+（x-t）²+x
∴[（x-t）²+（x-t）]²+（x-t）²=0
∵[（x-t）²+（x-t）]²≥0，（x-t）²≥0
∴[（x-t）²+（x-t）]²=（x-t）²=0
只有x=t一個解
∴B={t}=A

點評：本題考查的知識點是集合的包含關系判斷，熟練掌握集合包含的定義是解答的關鍵