Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】試題分析：

（1）由可求得，求導(dǎo)后令解不等式可得單調(diào)遞減區(qū)間．（2）構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立．當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，又，故不滿足題意．當(dāng)時(shí)，可得的最大值為，因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，且， ，所以當(dāng)時(shí)， ，從而可得整數(shù)的最小值為2．

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

故，

所以 ，

由，解得，

所以的單調(diào)減區(qū)間為．

（2）令， ，

由題意可得在上恒成立．

又．

①當(dāng)時(shí)，則．

所以在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，

所以關(guān)于的不等式不能恒成立．

②當(dāng)時(shí)， ，

令，得．

所以當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也為最大值，且最大值為．

令，

則在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>， ．

所以當(dāng)時(shí)， ，

所以整數(shù)的最小值為2．