Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=AD=2DC=2 ，PA=4且E為PB的中點．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）求直線CE與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PA中點Q，連結(jié)QE、QD，

∵E為PB中點，∴QE∥AB，且QE= AB，

∵底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠BDA=90°，AB=AD=2DC=2 ，

∴QE∥CD，且QE=CD，∴四邊形QECD是平行四邊形，

∴EC∥QD，又FC平面PAD，QD平面PAD，

∴CE∥平面PAD

（2）解：過E作平面PAC的垂線，記垂足為O，連結(jié)CO，

則∠ECO是直線CE與平面PAC所成的角，

過B作BN⊥AC，記垂足為N，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BN，

又PA，AC平面PAC，且PA∩AC=A，

∴BN⊥平面PAC，

∴EO∥BN，又∵E是AB的中點，∴EO= BN= ，

過E作EM⊥AB=M，連結(jié)CM，得CE=2 ，

在Rt△CEO中，sin∠ECO= = ，

∴直線CE與平面PAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）取PA中點Q，連結(jié)QE、QD，推導出四邊形QECD是平行四邊形，由此能證明CE∥平面PAD．（2）過E作平面PAC的垂線，記垂足為O，連結(jié)CO，∠ECO是直線CE與平面PAC所成的角，過B作BN⊥AC，記垂足為N，過E作EM⊥AB=M，連結(jié)CM，由此能求出直線CE與平面PAC所成角的正弦值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．