Question

下列幾個命題
①函數f（x）=sin|x|是周期為π的偶函數；
②A=Q，B=Q，f：x→

1

x

，這是一個從集合A到集合B的映射；
③函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域為[-3，1]；
④若△ABC為銳角三角形，則點P（sinA-cosB，cosC-sinB）必在第四象限；
⑤一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值不可能是1．
其中你認為正確的全部有

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：寫出分段函數判斷①；舉特例判斷②；由函數值域的求法判斷③；由三角函數的誘導公式及單調性判斷④；寫出分段函數后可得直線y=a與曲線y=|3-x²|的交點個數，由此判斷⑤．

解答： 解：對于①，當x＞0時，f（x）=sinx．當x＜0時，f（x）=-sinx．
∴函數f（x）=sin|x|是偶函數但不是周期函數．命題①錯誤；
對于②，A=Q，B=Q，在對應關系f：x→

1

x

的對應下，集合A中的元素0在B中無對應元素，
∴A=Q，B=Q，f：x→

1

x

不是從集合A到集合B的映射．命題②錯誤；
對于③，函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域也是[-2，2]．命題③錯誤；
對于④，∵△ABC為銳角三角形，A、B是銳角△ABC的兩個內角，
∴A+B＞90°，90°＞A＞90°-B＞0，
又y=sinx在（0，90°）上單調遞增，
∴sinA＞sin（90°-B）=cosB，
∴sinA-cosB＞0；
同理可得，cosC-sinB＜0，
∴點P在第四象限．命題④正確；
對于⑤，∵曲線y=|3-x²|=

3-x2(- 3 ＜x＜ 3 ) x2-3(x≤- 3 或x≥ 3 )

，
∴直線y=a與曲線y=|3-x²|的交點個數只能是0，2，3，4．
∴命題⑤正確．
∴正確的命題是④⑤．
故答案為：④⑤．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了三角函數的誘導公式及單調性的應用，訓練了函數零點個數的判斷，是中檔題．