Question

已知f（x）=-x²+2ax+1-a，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=0的根一個(gè)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 根據(jù)f（x）=-（x-a）²+a²-a+1 的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x=a，分當(dāng)a＜0時(shí)、當(dāng)0≤a≤1時(shí)、當(dāng)a＞1時(shí)三種情況，分別由函數(shù)取得最大值為2，求得a的值．
（Ⅱ）由題意可得

f(-1)=-3a＜0 f(0)=1-a＞0 f(1)=a＞0 f(2)=3a-3＜0

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+2ax+1-a=-（x-a）²+a²-a+1 的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x=a，
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值為1-a=2，求得a=-1．
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，函數(shù)的最大值為 a²-a+1=2，求得a=

1± 5

2

 （舍去）．
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為a=2．
綜上可得，a=-1，或a=2．
（Ⅱ）若方程f（x）=0的根一個(gè)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
則有

f(-1)=-3a＜0 f(0)=1-a＞0 f(1)=a＞0 f(2)=3a-3＜0

，求得 0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．