Question

17．已知$\overrightarrow a$=（2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow b$=（sin²（$\frac{π}{4}$+x），cos2x）．令f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-1，x∈R，函數(shù)g（x）=f（x+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于（-$\frac{π}{6}$，0）對稱．
（Ⅰ） 求f（x）的解析式，并求φ的值；
（Ⅱ）在△ABC中sinC+cosC=1-$\sqrt{2}sin\frac{C}{2}$，求g（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的解析式，進一步求出圖象的對稱中心，即可得到φ的值；
（Ⅱ）由已知條件化簡得到sinC的值，求出C=$\frac{5π}{6}$，又$g（B）=2sin（2B+\frac{π}{3}）$，又$0＜B＜\frac{π}{6}$，得到$\frac{π}{3}＜2B+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，即可求出g（B）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-1=$2si{n}^{2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x-1$=2$sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴$g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ-\frac{π}{3}）$．
∴g（x）的圖象的對稱中心為$（-ϕ+\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0），k∈Z$．
又已知點（$-\frac{π}{6}，0$）為g（x）的圖象的一個對稱中心，∴$ϕ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}_{\;}^{\;}（k∈Z）$．
而$ϕ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$ϕ=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由$sinC+cosC=1-\sqrt{2}sin\frac{C}{2}$得$2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}+1-2{sin^2}\frac{C}{2}=1-\sqrt{2}sin\frac{C}{2}$，
即$sin\frac{C}{2}（2cos\frac{C}{2}-2sin\frac{C}{2}+\sqrt{2}）=0$，
∵$sin\frac{C}{2}≠0$，
∴$sin\frac{C}{2}-cos\frac{C}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
兩邊平方得$sinC=\frac{1}{2}$．
由$sin\frac{C}{2}-cos\frac{C}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
得$sin\frac{C}{2}＞cos\frac{C}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜\frac{C}{2}＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{π}{2}＜C＜π$，$C=\frac{5π}{6}$．
又$g（B）=2sin（2B+\frac{π}{3}）$，
又∵$0＜B＜\frac{π}{6}$，∴$\frac{π}{3}＜2B+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$g（B）∈（\sqrt{3}，2]$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．