Question

9．某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級，等級系數(shù)X依次為1，2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)
（1）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X₁的概率分布列如表所示：

X1	5	6	7	8
P	0.4	a	b	0.1

且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（2）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X₂，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X₂的數(shù)學(xué)期望．
（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．
注：①產(chǎn)品的“性價(jià)比”=產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價(jià)；
②“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性．

Answer 1

分析 （1）由EX₁=6和X₁的概率分布列，列出方程組，能求出a，b的值．
（2）由已知求出樣本的頻率分布列和等級系數(shù)X₂的概率分布列，從而能求出乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
（3）分別求出甲廠和乙廠的性價(jià)比，從而得到乙廠的產(chǎn)品更具可購買性．

解答 本題滿分（12分）
解：（1）∵EX₁=6，∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，
即6a+7b=3.2，
又由X₁的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5，
由$\left\{\begin{array}{l}{6a+7b=3.2}\\{a+b=0.5}\end{array}\right.$，解得a=0.3，b=0.2．（4分）
（2）由已知得，樣本的頻率分布列如下：

X2	3	4	5	6	7	8
f	0.3	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1

用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X₂的概率分布列如下：

X2	3	4	5	6	7	8
P	0.3	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1

∴EX₂=3P（X₂=3）+4P（X₂=4）+5P（X₂=5）+6P（X₂=6）+7P（X₂=7）+8P（X₂=8）
=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1
=4.8，
∴乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8．（8分）
（3）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：
∵甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件，∴其性價(jià)比為$\frac{6}{6}$=1．
∵乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，∴其性價(jià)比為$\frac{4.8}{4}=1.2$．
據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性． （12分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)的分布及整理能力，是中檔題．