Question

【題目】已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求切線的方程；

（2）求四邊形面積的最小值；

（3）求證：經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）或（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）解：①當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為；②當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，根據(jù)直線和圓相切，求得，即可得到直線的方程；

（2）由四邊形的面積，得到當(dāng)最小時，四邊形的面積最小，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即可求解，即可求解面積的最小值.

（3）設(shè)點(diǎn)，得到圓心坐標(biāo)是，進(jìn)而得到圓的方程，利用圓系方程，進(jìn)而可判定經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn).

試題解析：

（1）①當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為；

②當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，

因為直線和圓相切，所以圓心到切線的距離，解得，

所以切線方程為，即.

故所求切線方程為或.

（2）四邊形的面積，

所以當(dāng)最小時，四邊形的面積最小.

又的最小值是圓心到直線的距離，

即.

所以四邊形的面積最小值是.

（3）證明：過三點(diǎn)的圓即以為直徑的圓，

設(shè)點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)是，

以為直徑的圓的方程是 ，

化簡，得，

即.（*）

令，解得或.

由于不論為何值，點(diǎn)、的坐標(biāo)都適合方程（*），所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)是和.