Question

（2011•寧德模擬）某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出，有一萬(wàn)人參加，每人一張門票，每張100元．在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第一輪抽獎(jiǎng)從這一萬(wàn)張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)x，y（x，y∈{1，2，3}），隨即按如右所示程序框圖運(yùn)行相應(yīng)程序．若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)．
（Ⅰ）已知小曹在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）若小葉參加了此次活動(dòng)，求小葉參加此次活動(dòng)收益的期望；
（Ⅲ）若此次募捐除獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)金外，不計(jì)其它支出，該機(jī)構(gòu)想獲得96萬(wàn)元的慈善款．問(wèn)該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）從1，2，3三個(gè)數(shù)字中有重復(fù)取2個(gè)數(shù)字，其基本事件共9個(gè)，設(shè)“小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A，所包含的基本事件有（3，1），（3，3）共2個(gè)，故可求小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)小葉參加此次活動(dòng)的收益為ξ，ξ的可能取值為-100，900，9900，分別計(jì)算其概率，從而可得ξ的分布列與期望；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中求出的購(gòu)票者每人收益期望為-97，可得該機(jī)構(gòu)此次收益期望，從而可知該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）從1，2，3三個(gè)數(shù)字中有重復(fù)取2個(gè)數(shù)字，其基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9個(gè)，…（2分）
設(shè)“小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A，且事件A所包含的基本事件有（3，1），（3，3）共2個(gè)，
∴P(A)=

2

9

．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)小葉參加此次活動(dòng)的收益為ξ，ξ的可能取值為-100，900，9900．…（5分）
P(ξ=-100)=

999

1000

，P(ξ=900)=

1

1000

•

7

9

=

7

9000

，P(ξ=9900)=

1

1000

•

2

9

=

2

9000

．
∴ξ的分布列為

ξ	-100	900	9900
P	999 1000	7 9000	2 9000

…（8分）
∴Eξ=-100×

999

1000

+900×

7

9000

+9900×

2

9000

=-97．      …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，購(gòu)票者每人收益期望為-97．
∵有一萬(wàn)人購(gòu)票，除獎(jiǎng)金和獎(jiǎng)品外，不計(jì)其它支出，
∴該機(jī)構(gòu)此次收益期望為97×10000=970000元=97萬(wàn)元，
∵97＞96，
∴該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查利用期望解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值及計(jì)算相應(yīng)的概率．