Question

11．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點(diǎn)G為EF中點(diǎn)．
（1）求證：AG⊥CD：
（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形AG⊥EF．推證 AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，線面的轉(zhuǎn)化 AG⊥CD．
（2）根據(jù)中點(diǎn)推證GF∥MN，GF=MN．四邊形GFNM是平行四邊形． 由直線平面平行的判定定理推證GM∥平面ABF；

解答 解：（1）證明：因?yàn)锳E=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，
所以 AG⊥EF．
又因?yàn)?nbsp;EF∥AD，
所以 AG⊥AD．
因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，
所以 AG⊥平面ABCD．
因?yàn)?nbsp;CD?平面ABCD，
所以 AG⊥CD．
（2）存在點(diǎn)M在線段AC上，且 $\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{3}$，使得：GM∥平面ABF．
證明：如圖，過點(diǎn)M作MN∥BC，且交AB于點(diǎn)N，連結(jié)NF，
因?yàn)?nbsp;$\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{3}$，所以$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
因?yàn)?nbsp;BC=2EF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，
所以 BC=4GF，
又因?yàn)?nbsp;EF∥AD，四邊形ABCD為正方形，
所以 GF∥MN，GF=MN．
所以四邊形GFNM是平行四邊形．
所以 GM∥FN．
又因?yàn)镚M?平面ABF，F(xiàn)N?平面ABF，
所以 GM∥平面ABF．

點(diǎn)評 本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，空間直線的位置關(guān)系，直線平面的平行關(guān)系，掌握好定理，轉(zhuǎn)化直線的為關(guān)系判斷即可，屬于中檔題．