Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1；
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）若f（x）≥0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a=1，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進(jìn)而每一段轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，用二次函數(shù)法求得每段的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）受（1）的啟發(fā)，用二次函數(shù)法求函數(shù)的最小值，要注意定義域，同時由于a不具體，要根據(jù)對稱軸分類討論；
（3）運(yùn)用參數(shù)分離，再構(gòu)造右邊的函數(shù)，運(yùn)用基本不等式，可得最大值，可得a的最小值．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x²-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1，x＜0}\\{{x}^{2}-x+1，x≥0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜0時，f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，0），減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)x≥0時，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$），（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1，
若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
最小值g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，則f（x）=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+2a-$\frac{1}{4a}$-1，
f（x）圖象的對稱軸是直線x=$\frac{1}{2a}$，
當(dāng)a＜0時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．
當(dāng)0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2．
當(dāng)1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$時，g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=2a-$\frac{1}{4a}$-1，
當(dāng)2＜$\frac{1}{2a}$，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．
綜上得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，a＜\frac{1}{4}}\\{2a-\frac{1}{4a}-1，\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}}\\{3a-2，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
（3）f（x）≥0恒成立，即為a≥$\frac{|x|+1}{{x}^{2}+2}$恒成立．
令g（x）=$\frac{|x|+1}{{x}^{2}+2}$，
當(dāng)x=0時，g（0）=0，
由于g（x）為偶函數(shù)，
則考慮x＞0的最大值即可．
當(dāng)x＞0時，g（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+1+\frac{3}{x+1}-2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{3}-2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{3}{x+1}$即x=$\sqrt{3}$-1，取得最大值．
則a≥$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
故a的最小值為$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)，二次函數(shù)，考查求其單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最值，充分考查了分類討論的方法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．