【題目】已知函數(shù),是常數(shù)

Ⅰ)求曲線在點處的切線方程,并證明對任意,切線經(jīng)過定點;

Ⅱ)證明:時,有兩個零點、,且

【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析:

Ⅰ)先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程,再根據(jù)方程判斷切線經(jīng)過的定點.Ⅱ)由題意得函數(shù)上都為增函數(shù),根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得上有一個零點由于,則,利用導數(shù)可得,再根據(jù)單調(diào)性可得結論成立.

試題解析

由條件得,

,

,

∴所求的切線方程為,

將切線方程變形為,

時,可得,

故切線過定點

Ⅱ)函數(shù)的定義域為

時,,

∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都單調(diào)遞增.

時,,

,則,

在區(qū)間內(nèi)有一個零點,從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點

時,

時,

在區(qū)間內(nèi)有一個零點,從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點

,

,

在區(qū)間單調(diào)遞增,

,故得

練習冊系列答案
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