Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，且a≤-2．
證明：對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先根據(jù)a的范圍對函數(shù)f（x）的單調(diào)性進行判斷，然后根據(jù)單調(diào)性去絕對值，g（x）=f（x）+4x，將問題轉化為證明函數(shù)g（x）=f（x）+4x的單調(diào)性問題．

解答： 解：不妨假設x₁≤x₂．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
所以|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于f（x₁）-f（x₂）≥4x₂-4x₁，
即f（x₂）+4x₂≤f（x₁）+4x₁．
令g（x）=f（x）+4x，則g′(x)=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

，
∵g′(x)=

2ax2+4x+a+1

x

≤

-4x2+4x-1

x

=

-(2x-1)2

x

≤0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x₁）≥g（x₂）
即f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，
∴對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．屬于中檔題．