Question

11．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），且f（1）=-$\frac{a}{2}$，a＞2c＞b．
（1）判斷ab的符號．
（2）證明f（x）=0至少有一個實根在區(qū)間（0，2）內(nèi)．
（3）求函數(shù)y=f（x）的圖象被x軸所截的弦長取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件可得 2a+b＞0、且a+b＜0，再根據(jù)（2a+b）（a+b）＜0，化簡可得ab＜0．
（2）根據(jù)a＞2c＞b，ab＜0，可得a＞0，b＜0．再根據(jù)f（1）＜0，2a+b＞0，f（2）=$\frac{a}{2}$+（2a+b）＞0，可得函數(shù)f（x）在（1，2）上必有一個零點，可得 f（x）=0至少有一個實根在區(qū)間（0，2）內(nèi)．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的零點分別為 x₁、x₂，且x₁＜x₂，則由韋達(dá)定理可得函數(shù)y=f（x）的圖象被x軸所截的弦長為|x₁-x₂|=$\sqrt{{（\frac{a}+2）}^{2}+2}$．根據(jù)$\frac{a}$∈（-2，-1），
 求得函數(shù)y=f（x）的圖象被x軸所截的弦長的范圍．

解答 解：（1）對于二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），由f（1）=a+b+c=-$\frac{a}{2}$，
可得c=-$\frac{3}{2}$a-b．
由a＞2c可得a＞-3a-2b，化簡可得 2a+b＞0 ①，
再由2c＞b，可得-3a-2b＞b，即a+b＜0，
∴（2a+b）（a+b）＜0，化簡可得 3ab=-2a²-b²＜0，即 ab＜0．
（2）根據(jù)a＞2c＞b，ab＜0，可得a＞0，b＜0．
再根據(jù)f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0，2a+b＞0，f（2）=4a+2b+c=4a+2b+（-$\frac{3}{2}$a-b）=$\frac{a}{2}$+（2a+b）＞0，
可得函數(shù)f（x）在（1，2）上必有一個零點，∴f（x）=0至少有一個實根在區(qū)間（0，2）內(nèi)．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的零點分別為 x₁、x₂，且x₁＜x₂，則由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{a}$ x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{-\frac{3a}{2}-b}{a}$，
函數(shù)y=f（x）的圖象被x軸所截的弦長為|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}-4•\frac{-\frac{3a}{2}-b}{a}}$=$\sqrt{\frac{{6a}^{2}{+b}^{2}+4ab}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{{（\frac{a}+2）}^{2}+2}$．
根據(jù)a+b＜0，a＞0，b＜0，2a+b＞0，可得 $\frac{a}$∈（-2，-1），
故當(dāng)$\frac{a}$趨于-2時，弦長趨于$\sqrt{2}$，當(dāng)$\frac{a}$趨于-1時，弦長趨于$\sqrt{3}$，
故函數(shù)y=f（x）的圖象被x軸所截的弦長的范圍為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．