Question

13．已知函數(shù)f（x）=asin（2x-$\frac{π}{3}$），且f（$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$．
 （1）求函數(shù)f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的集合；
 （2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$求得a的值，求得a的值，可得函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的集合．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），以及正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=asin（2x-$\frac{π}{3}$），且f（$\frac{π}{2}$）=asin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\sqrt{3}$，∴a=2，
函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2．
（2）函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．