Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f′（x）≠0．試證存在ξ，η∈（a，b），使得$\frac{f′（ξ）}{f′（η）}=\frac{{e}^-{e}^{a}}{b-a}•{e}^{-η}$．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)與端點(diǎn)函數(shù)的關(guān)系．一般考慮到使用中值定理．ξ、η可能不相等，那么可以分成兩個函數(shù)分別應(yīng)用中值定理．首先對分子中的ξ點(diǎn)應(yīng)用中值定理，即可得到關(guān)于η點(diǎn)的表達(dá)式，再求解．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，所以，應(yīng)用拉格朗日中值定理知：存在ξ∈（a，b），
使得f′（ξ）•（b-a）=f（b）-f（a），即 f′（ξ）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．
要求存在ξ、η∈（a，b），使得$\frac{f′（ξ）}{f′（η）}=\frac{{e}^-{e}^{a}}{b-a}•{e}^{-η}$，代入f′（ξ）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則只需求存在η∈（a，b），
使得f′（η）=$\frac{f（b）-f（a）}{{e}^-{e}^{a}}$•e^η，即$\frac{f′（η）}{{e}^{η}}$=$\frac{f（b）-f（a）}{{e}^-{e}^{a}}$•
顯然，只需對在[a，b]上應(yīng)用柯西中值定理即可，
故存在ξ，η∈（a，b），使得$\frac{f′（ξ）}{f′（η）}=\frac{{e}^-{e}^{a}}{b-a}•{e}^{-η}$．

點(diǎn)評 本題考查柯西中值定理．易錯點(diǎn)為對g（x）使用中值定理．本題需理解中值定理的各種應(yīng)用形式