Question

14．已知函數(shù)$f（x）={log_9}（{9^x}+1）-\frac{1}{2}x$的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+b沒有交點(diǎn)，則b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． （0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x）的圖象與y=$\frac{1}{2}$x+b直沒有交點(diǎn)，方程$f（x）={log_9}（{9^x}+1）-\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}$x+b無解，從而方程log₉（9^x+1）-x=b無解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點(diǎn)．可以驗(yàn)證g（x）為減函數(shù)，從而得到g（x）＞0，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：由題意知方程$f（x）={log_9}（{9^x}+1）-\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}$x+b沒有解，即方程log₉（9^x+1）-x=b無解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點(diǎn)．
∵$g（x）=lo{g}_{9}（{9}^{x}+1）-x=lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則0＜${9}^{{x}_{1}}$＜${9}^{{x}_{2}}$，從而$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}＞\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$，
可知g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（-∞，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．
∵$1+\frac{1}{{9}^{x}}＞1$，
∴$g（x）=lo{g}_{9}（{9}^{x}+1）-x=lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$＞0，
函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點(diǎn)，只需b≤0即可．
∴b的取值范圍是（-∞，0]．
故選：A

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用偶函數(shù)的定義，合理將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化