Question

設數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3…當a₁≥3時，證明對所有的n∈正整數(shù)都有

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：用數(shù)學歸納法證明a_n≥n+2．從而得到

1

1+an

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，由此利用放縮法能證明

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

．

解答： 證明：用數(shù)學歸納法證明a_n≥n+2．
①當n=1時，a₁≥3=1+2，不等式成立；
②假設當n=k時不等式成立，即a_k≥k+2，
那么，a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3，
也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+2，
根據①和②，對于所有n≥1，有a_n≥n+2．
∵a_n+1=a_n²-na_n+1=a_n（a_n-n）+1，a_n≥n+2，
∴對k≥2，有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）
≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1，
∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2^k-1（a₁+1）-1，
于是

1

1+an

≤

1

1+a1

•

1

2k-1

，k≥2，
∴

n

k=1

1

1+ak

≤

1

1+a1

+

1

1+a1

•

n

k=2

1

2k-1

=

1

1+a1

n

k=1

1

2k-1

≤

2

1+a1

≤

2

1+3

=

1

2

．
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

．

點評：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)學歸納法和放縮法的合理運用．