【題目】O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與圓x2+y2=2相切.
(1)若直線l分別與x、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn),求△AOB面積的最小值及面積取得最小值時(shí)的直線l的方程.
(2)設(shè)直線l交橢圓 =1于P、Q兩點(diǎn),M為PQ的中點(diǎn),求|OM|的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)直線l的方程為 =1(a,b>0),

由直線和圓x2+y2=4相切,可得 =

即有 = ,即ab≥4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),取得等號(hào).

則△AOB面積S= ab的最小值為2;

此時(shí)直線的方程為x+y﹣2=0


(2)解:若直線的斜率不存在,設(shè)為x=t,

由直線和圓相切可得,t=﹣

代入橢圓方程可得,y=±

可得中點(diǎn)M坐標(biāo)為(﹣ ,0)或( ,0),|OM|=

設(shè)直線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程可得,

(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣6=0,

△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣6)>0,

即為m2<3+6k2,

由直線和圓相切,可得 = ,

即為m2=2+2k2,由2+2k2<3+6k2,可得k∈R,

設(shè)P,Q的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),

可得x1+x2=﹣ ,中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣ , ),

即有|OM|= =

設(shè)1+2k2=t(t≥1),則|OM|= =

= ,由t≥1可得t=2取得最大值

t=1時(shí),取得最小值

故|OM|的范圍是[ , ]


【解析】(1)設(shè)出直線方程,由直線和圓相切的條件:d=r,結(jié)合基本不等式,即可得到面積的最小值和此時(shí)直線的方程;(2)討論直線的斜率不存在和存在,設(shè)出直線方程為y=kx+m,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合判別式大于0,化簡(jiǎn)整理即可得到所求范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知是遞增數(shù)列,其前項(xiàng)和為,,且,

)求數(shù)列的通項(xiàng);

)是否存在使得成立?若存在,寫(xiě)出一組符合條件的的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

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本年度出險(xiǎn)次數(shù)

下一次保費(fèi)(單位:萬(wàn)元)

設(shè)今年初次參保該險(xiǎn)種的某人準(zhǔn)備來(lái)年繼續(xù)參保該險(xiǎn)種,且該參保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)的概率分布列如下:

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)

概率

求此續(xù)保人來(lái)年的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率.

若現(xiàn)如此續(xù)保人來(lái)年的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率.

)求該續(xù)保人來(lái)年的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

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定價(jià)(元/

10

20

30

40

50

60

年銷(xiāo)售

1150

643

424

262

165

86

14.1

12.9

12.1

11.1

10.2

8.9

圖(1)為散點(diǎn)圖,圖(2)為散點(diǎn)圖.

(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,哪一對(duì)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性(不必證明);

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果和參考數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數(shù)字);

(Ⅲ)定價(jià)為多少時(shí),年銷(xiāo)售額的預(yù)報(bào)值最大?(注:年銷(xiāo)售額定價(jià)年銷(xiāo)售)

參考數(shù)據(jù):,,,, ,,,

參考公式:,.

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(Ⅰ)若曲線C1關(guān)于曲線C2對(duì)稱(chēng),求a的值,并把曲線C1和C2化成直角坐標(biāo)方程;
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