Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n=$\frac{1}{3}{a_{n-1}}+\frac{2}{{{3^{n-1}}}}-\frac{2}{3}（{n≥2}）$，設(shè)b_n=3^n-1（a_n+1）．
（Ⅰ）證明：{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得b_n-b_n-1=2，即可證明，
（II）由于通項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵a₁=1，a_n=$\frac{1}{3}{a_{n-1}}+\frac{2}{{{3^{n-1}}}}-\frac{2}{3}（{n≥2}）$，
∴3a_n=a_n-1+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-2（n≥2），
∴b_n-b_n-1=3^n-1a_n+3^n-1-3^n-2a_n-1-3^n-2
=3^n-2（a_n-1+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-2-a_n-1）+2•3^n-2
=3^n-2（a_n-1+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-2-a_n-1+2）
=2．
∴則{b_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）∵b_n=3^n-1（a_n+1）=2+（n-1）2，可解得：a_n=$\frac{2n}{{3}^{n-1}}-1$，
∴s_n=1+（$\frac{2×2}{3}-1$）+（$\frac{2×3}{{3}^{2}}$-1）+（$\frac{2×4}{{3}^{3}}$-1）+…+（$\frac{2n}{{3}^{n-1}}-1$）
=$\frac{2×2}{3}$+$\frac{2×3}{{3}^{2}}$+$\frac{2×4}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n}{{3}^{n-1}}$+2-n，①
3s_n=2×2+$\frac{2×3}{3}$+$\frac{2×4}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n}{{3}^{n-2}}$+6-3n，②
∴②-①可得：2s_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-$\frac{2n}{{3}^{n-1}}$+8-2n，
∴s_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-2}}$-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$+4-n=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-2}}$-n-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．

點評 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求通項公式及數(shù)列的求和，屬于中檔題．