Question

2．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x-3}（x＞2）\\{x^2}-2x+2（0＜x≤2）\end{array}$，下列說法：①當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜1時(shí)，f（x₁）＞f（x₂）；②直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)x∈（0，a]時(shí)，f（x）的最小值為1，則a∈[1，$\frac{5}{2}$]；④關(guān)于x的兩個(gè)方程f（x）=$\frac{3}{2}$與f（x）=b所有根的和為0，則b=-$\frac{3}{2}$；其中正確的有②③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的解析式，判斷當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜1時(shí)的函數(shù)的單調(diào)性．
②作出函數(shù)y=x的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷．
③求出函數(shù)f（x）=1的根，判斷a的取值范圍即可．
④根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性進(jìn)行判斷．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴若x＜-2，則-x＞2，則f（-x）=$\frac{2}{-2x-3}$=-f（x），
則f（x）=$\frac{2}{2x+3}$，x＜-2．
若-2≤x＜0，則0＜-x≤2，則f（-x）=x²+2x+2=-f（x），
即f（x）=-x²-2x-2，-2≤x＜0，
當(dāng)x=0，則f（0）=0．
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
①當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜1時(shí)，函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②作出y=x的圖象，則直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，成立．
③當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{2}{2×\frac{5}{2}-3}$=$\frac{2}{5-3}=\frac{2}{2}=1$，
則當(dāng)x∈（0，a]時(shí)，f（x）的最小值為1，則a∈[1，$\frac{5}{2}$]，則成立．
④∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若關(guān)于x的兩個(gè)方程f（x）=$\frac{3}{2}$與f（x）=b所有根的和為0，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{3}{2}$的根與f（x）=b根關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則b=-$\frac{3}{2}$，
但x＞0時(shí)，方程f（x）=$\frac{3}{2}$有3個(gè)根，
設(shè)分別為x₁，x₂，x₃，且0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
則有$\frac{2}{2x-3}$=$\frac{3}{2}$得x=$\frac{13}{6}$，即x₃=$\frac{13}{6}$，
x₁+x₂₂=2，
則三個(gè)根之和為2+$\frac{13}{6}$=$\frac{25}{6}$，
若關(guān)于x的兩個(gè)方程f（x）=$\frac{3}{2}$與f（x）=b所有根的和為0，
則f（x）=b的根為-$\frac{25}{6}$，
此時(shí)b=f（-$\frac{25}{6}$）=$\frac{2}{2•（-\frac{25}{6}）+3}$=-$\frac{6}{16}$=-$\frac{3}{8}$，
故④錯(cuò)誤，
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．