Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*）
（1）求a₂、a₃、a₄的值；
（2）推出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*），分別令n=2，3，4，即可得出a₂，a₃，a₄．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*），
分別令n=2，3，4，可得a₂=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{1}{1×（1+1）}$=$\frac{1}{2}$成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，${a}_{k}=\frac{1}{k（k+1）}$，
則n=k+1，S_k+1=（k+1）²a_k+1，∴a_k+1=（k+1）²a_k+1-k²a_k，
∴a_k+1=$\frac{{k}^{2}{a}_{k}}{{k}^{2}+2k}$=$\frac{k×\frac{1}{k（k+1）}}{k+2}$=$\frac{1}{（k+1）（k+1+1）}$，成立．
綜上可得：${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$．n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式、數(shù)學(xué)歸納法、觀察分析猜想歸納的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．