Question

20．觀察以下含有*的兩個式子：
1*1=2
（n+1）*1=1（n*1），n∈N₊
根據以上規(guī)律，若數列{b_n}的前n項和S_n=n²，若對任意正整數n，使得不等式$\frac{_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析 由新定義求得n*1=2，再由數列{b_n}的前n項和S_n=n²求出數列通項公式，代入不等式$\frac{_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$，整理后得到$lo{g}_{2}（x+1）＞\frac{4}{3}（2n-1）$，由函數f（n）=$\frac{4}{3}（2n-1）$為增函數，可知其無最大值，從而得到滿足不等式$\frac{_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立的實數x值不存在．

解答 解：∵1*1=2，且（n+1）*1=1（n*1），
∴n*1=2，
對于數列{b_n}，由其前n項和S_n=n²，得a₁=S₁=1；
當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$．
當n=1時，上式成立，
∴b_n=2n-1，
則不等式$\frac{_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立可化為$\frac{2n-1}{2}$$＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立，
即$lo{g}_{2}（x+1）＞\frac{4}{3}（2n-1）$恒成立，
∵函數f（n）=$\frac{4}{3}（2n-1）$為增函數，無最大值，
∴使$lo{g}_{2}（x+1）＞\frac{4}{3}（2n-1）$對于任意正整數n恒成立的x值不存在．

點評 本題是新定義題，考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，關鍵是對題意的理解，是中檔題．