Question

11．已知點(diǎn)P（x，y）是直線l：y=kx+2（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓（x-2）²+（y-2）²=1的切線，當(dāng)切線長(zhǎng)最短為$\sqrt{2}$時(shí)，此時(shí)直線l的斜率k=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，把過(guò)直線l：y=kx+2（k＞0）上的點(diǎn)P作圓的切線，切線長(zhǎng)最短轉(zhuǎn)化為圓心到直線l的距離最短，由題意求得圓心到直線的距離，再代入點(diǎn)到直線的距離公式得答案．

解答 解：由圓（x-2）²+（y-2）²=1，
得圓的圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為1，
要使切線長(zhǎng)最短，即圓心到直線l：y=kx+2（k＞0）的距離最短，
∵圓的半徑為1，切線長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
∴圓心到直線l：y=kx+2（k＞0）的距離等于$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{3}$．
再由點(diǎn)到直線的距離公式得$\frac{|2k-2+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得：k=$-\sqrt{3}$（舍）或k=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．