Question

3．已知A，B，P是雙曲線mx²-ny²=1（m＞0，n＞0）上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率積為$\frac{2}{3}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{2}{3}$，即可求得結(jié)論．

解答 解：由mx²-ny²=1得$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$=1，
則a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{n}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{m}{n}$
由題意，設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁）
∴k_PA•k_PB=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
A，B代入兩式相減可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{m}{n}$，
∵${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{2}{3}$，∴$\frac{m}{n}$=$\frac{2}{3}$，
∴e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，利用點(diǎn)差法，轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．