Question

9．已知函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，對(duì)于給定的非零常數(shù)m，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是D上的m級(jí)類(lèi)增周期函數(shù)，周期為T(mén)，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是D上的m級(jí)類(lèi)周期函數(shù)，周期為T(mén)．
（1）已知函數(shù)f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級(jí)類(lèi)增周期函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m級(jí)類(lèi)周期函數(shù)，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=2^x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）對(duì)一切[3，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{{x}^{2}-2x-1}{x-1}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-2}{x-1}$=（x-1）-$\frac{2}{x-1}$，利用基本不等式求解即可．
（2）分類(lèi)討論f得出f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．

解答 解：（1）由題意可知：f（x+1）＞2f（x），
即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）對(duì)一切[3，+∞）恒成立，
（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x∈[3，+∞）
∴a＜$\frac{{x}^{2}-2x-1}{x-1}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-2}{x-1}$=（x-1）-$\frac{2}{x-1}$，
令x-1=t，則t∈[2，+∞），
g（x）=t-$\frac{2}{t}$ 在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）時(shí)，f（x）=2^x，
∴當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，
當(dāng)x∈[n，n+1]時(shí)，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，推理變形能力，分類(lèi)討論的思想，屬于難題