如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E為BC中點．將△CDE沿DE折起至△PDE，使得平面PDE⊥平面ABED，M，N分別為DE，PB的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥面APD；
（Ⅱ）求二面角D-NE-P的余弦值．
考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）連結AM，PM，由題意知AM，PM，EM兩兩垂直，以M為原點，MA為x軸，ME為y軸，MP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明MN∥面APD．
（Ⅱ）分別求出平面DNE的法向量和平面NEP的法向量，利用同向量法能求出二面角D-NE-P的余弦值．
解答： （Ⅰ）證明：連結AM，PM，由題意知AM，PM，EM兩兩垂直，
以M為原點，MA為x軸，ME為y軸，MP為z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意知，M（0，0，0），P（0，0，
3
），
B（
3
，2，0），N（
3
2
，1，
3
2
），
D（0，-1，0），A（
3
，0，0），E（0，1，0），
MN
=(
3
2
，1，
3
2
)，
AD
=(-
3
，-1，0)，
AP
=(-
3
，0，
3
)，
設平面APD的法向量
n
=(x，y，z)，
則
n
•
AD
=-
3
x-y=0
n
•
AP
=-
3
x+
3
z=0
，取x=
3
，得
n
=(
3
，-3，
3
)，
∵
MN
•
n
=
3
2
×
3
-3+
3
2
×
3
=0，
∵MN不包含于面APD，∴MN∥面APD．
（Ⅱ）解：
EN
=(
3
2
，0，
3
2
)，
DN
=(
3
2
，2，
3
2
)，
EP
=(0，-1，
3
)，
設平面DNE的法向量
m
=(x1，y1，z1)，
則
3
2
x1+
3
2
z1=0
3
2
x1+2y1+
3
2
z1=0
，取x1=1，得
m
=(1，0，-1)，
設平面NEP的法向量
p
=(x2，y2，z2)，
則
3
2
x2+
3
2
z2=0
-y2+
3
z2=0
，取x2=
3
，得
p
=(
3
，-3，-
3
)，
設二面角D-NE-P的平面角為θ，
cosθ=|cos＜
m
，
p
＞|=|
3
+0+
3
2
•
15
|=
10
5
．
∴二面角D-NE-P的余弦值為
10
5
．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，底面是邊長為1的等邊三角形，側棱長均為2，SO⊥底面ABC，O為垂足，則側棱SA與底面ABC所成角的余弦值為（　�。�
A、
3
2
B、
1
2
C、
3
3
D、
3
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知i為虛數(shù)單位，則i（1+i）2=（　�。�
A、2iB、-2iC、2D、-2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
4x
3x2+3
(x∈(0，2))，g(x)=
1
2
x2-lnx-a．
（1）求f（x）的值域；
（2）若?x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（a，0），B（0，b）（其中a，b均大于4），直線AB與圓C：x2+y2-4x-4y+4=0 相切．
（1）求證：（a-4）（b-4）=8
（2）求線段AB的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos2x+
3
sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）若關于x的方程f（x）-m=2在x∈[-
π
4
，
π
4
]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點．
（1）證明：平面PBE⊥平面PAC
（2）試在BC上找一點F，使AD∥平面PEF？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校新生入學時該校選取甲、乙兩個高一新班（均為60人，入學數(shù)學平均分和優(yōu)秀率都相同，勤奮程度和自覺性都一樣）分別采用A，B兩種方法教學，為了解A，B兩種教學方法的效果，現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩班各20名學生的市統(tǒng)考數(shù)學成績（單位：分）如下：
甲班：58，57，59，92，71，82，65，82，74，67，74，67，68，85，83，78，81，69，73；
乙班：64，73，80，81，90，82，84，91，69，78，83，89，97，94，68，82，69，76，81，98．
（1）分別完成甲、乙兩班各20名學生的市統(tǒng)考數(shù)學成績的頻率分布表，并作出頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖判斷哪個班的優(yōu)秀率高？（成績大于等于80分為優(yōu)秀）
甲班
分組頻數(shù)頻率
[90，100]
 
 
[80，90）
 
 
[70，80）
 
 
[60，70）
 
 
[50，60）
 
 
乙班
分組頻數(shù)頻率
[90，100]
 
 
[80，90）
 
 
[70，80）
 
 
[60，70）
 
 
[50，60）
 
 

（2）現(xiàn)從甲、乙兩班各20名市統(tǒng)考數(shù)學成績不低于85分的學生中各抽出2人，若成績不低于90分的學生獎勵100元，否則獎勵50元，求獎金總數(shù)不少于310元的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1⊥底面ABCD，AB=2
2
，AA1=4，E為AA1上一點，且A1E=3EA．
（Ⅰ）求證：平面EBD⊥平面C1BD；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD與四棱錐C1-ABCD公共部分的體積．

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