已知f(x)=
4x
3x2+3
(x∈(0，2))，g(x)=
1
2
x2-lnx-a．
（1）求f（x）的值域；
（2）若?x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范圍．
考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：（1）原函數(shù)變形為f（x）=
4
3
×
1
x+
1
x
，求出x+
1
x
∈[2，+∞），值域即可求，
（2）原問題等價于方程
1
2
x2-lnx=a（x∈[1，2]）有解，令u（x）=
1
2
x2-lnx，利用導數(shù)求最值即可．
解答： 解：（1）f（x）=
4x
3x2+3
=
4
3
×
1
x+
1
x
，
當x∈（0，2）時，x+
1
x
∈[2，+∞），
故f（x）∈(0，
2
3
)．
（2）原問題等價于方程
1
2
x2-lnx=a（x∈[1，2]）有解，
令u（x）=
1
2
x2-lnx，
則u′（x）=x-
1
x
=
x2-1
x
≥0，
故u（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∵u（1）=
1
2
，u（2）=2-ln2，
∴u（x）∈[
1
2
，2-ln2]，
故a∈[
1
2
，2-ln2]，
點評：本題主要考查了函數(shù)的值域以及導數(shù)與最值的關系，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞1，-1＜b＜0，那么（　�。�
A、ab＞b
B、ab＜-a
C、ab2＜ab
D、ab2＞b2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m，n是不同的兩條直線，α，β是不同的兩個平面，則下列命題中不正確的是（　�。�
A、若m∥n，m⊥α，則n⊥α
B、若m∥α，α∩β=n，則m∥n
C、若m⊥α，m?β，則α⊥β
D、若m⊥α，m⊥β，則α∥β

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=
2
，AA1=
3
，D是BC中點，E是AA1中點．
（Ⅰ）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積；
（Ⅱ）求證：AD⊥BC1；
（Ⅲ）求證：DE∥面A1C1B．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD邊長為2，以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F，連結(jié)CF并延長交AB于點E．
（1）求證：AE=EB；
（2）求EF•FC的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下表是某種產(chǎn)品銷售收入與銷售量之間的一組數(shù)據(jù)：
銷售量x（噸）2356
銷售收入y（千元）78912
（1）畫出散點圖；
（2）求出回歸方程；
（3）根據(jù)回歸方程估計銷售量為9噸時的銷售收入．
（參考公式：
∧
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
=
n
i=1
xiyi-n
.
xy
n
i=1
xi2-n
.
x
2
，
∧
a
=
.
y
-
∧
b
.
x
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E為BC中點．將△CDE沿DE折起至△PDE，使得平面PDE⊥平面ABED，M，N分別為DE，PB的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥面APD；
（Ⅱ）求二面角D-NE-P的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（Ⅰ）求證：
3
+
7
＜2
5

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一個小于2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上任意一點，過A作AE⊥PC于點E，AF⊥PB于點F，求證：
（1）AE⊥平面PBC；
（2）平面PAC⊥平面PBC；
（3）PB⊥EF．

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