Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2

2

，AA₁=4，E為AA₁上一點(diǎn)，且A₁E=3EA．
（Ⅰ）求證：平面EBD⊥平面C₁BD；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD與四棱錐C₁-ABCD公共部分的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，C₁O，證明EO⊥平面BDC₁，即可證明平面EBD⊥平面C₁BD；
（Ⅱ）設(shè)EC與AC₁交點(diǎn)為F，則四棱錐E-ABCD與四棱錐C₁-ABCD公共部分為四棱錐F-ABCD，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC交BD于O，連接EO，C₁O，
∵四邊形ABCD為正方形，AB=2

2

，
∴AC=4，AO=

1

2

AC=2，
∵A₁A=4，AE=3EA，
∴EA=1，
∴tan∠EOA=

1

2

，tan∠C₁OC=2，
∴∠EOA+∠C₁OC=90°，
∴EO⊥OC₁，
∵ED=3，EB=3，
∴ED=EB，
∴在△EBD中，EO⊥BD
∴EO⊥平面BDC₁．
又EO?平面BDE
∴平面C₁BD⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：設(shè)EC與AC₁交點(diǎn)為F，則四棱錐E-ABCD與四棱錐C₁-ABCD公共部分為四棱錐F-ABCD，
在矩形A₁ACC₁中，

CF

EF

=

CC1

AE

=4，∴

CF

CE

=

4

5

，
∴F到AC的距離d=

4

5

AE=

4

5

，
∴F到平面ABCD的距離為

4

5

，
∴四棱錐F-ABCD的高為

4

5

，
∴V_F-ABCD=

1

3

•(2

2

)2•

4

5

=

32

15

，
∴四棱錐E-ABCD與四棱錐C₁-ABCD公共部分的體積為

32

15

．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，體積的計(jì)算，其中熟練掌握面面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．