Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．
（1）當(dāng)x＞1時(shí)，方程f（x）=0有解，求a的取值范；
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時(shí)成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3的圖象恒過定點(diǎn)（1，4），若方程f（x）=0有解，△=a²-4（a+3）≥0即a≤-2或a≥6，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論可得答案．
（2）g（x）=ax-2a的圖象恒過定點(diǎn)（2，0），利用這兩個(gè)定點(diǎn)，結(jié)合圖象解決．

解答 解：（1）由f（x）=x²-ax+a+3知f（1）=4，
由△=a²-4（a+3）≥0即a≤-2或a≥6，
故由函數(shù)的圖象知：

①若a≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3圖象的對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$＜-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，方程f（x）=0無解，
②若a≥6時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3圖象的對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$＞3，
當(dāng)x＞1時(shí)，方程f（x）=0有解，
綜上所述，a的取值范為[6，+∞）．
（2）∵存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，
知△=a²-4（a+3）＞0即a＜-2或a＞6，
另g（x）=ax-2a中恒過（2，0），
故由函數(shù)的圖象知：
①若a＞6時(shí)，g（x₀）＜0?x₀＜2，
此時(shí)函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3圖象的對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$＞3，
f（x₀）＜0?$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，
解得：a＞7，
②若a＜-2時(shí)，g（x₀）＜0?x₀＞2，
此時(shí)函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3圖象的對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$＜-1，
故函數(shù)在區(qū)間（$\frac{a}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
又∵f（1）=4，
∴f（x₀）＜0不成立．
綜上所述，a的取值范圍為（7，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 充分挖掘題目中的隱含條件，結(jié)合圖象法，可使問題的解決來得快捷．本題告訴我們，圖解法對(duì)于解決存在性問題大有幫助．