Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)為F，不垂直于x軸且不過(guò)F點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若∠MFN的外角平分線與直線MN交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的第二定義可得焦半徑公式，可得|MF|，|NF|，利用外角平分線性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
右焦點(diǎn)為F（1，0），
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∵F為右焦點(diǎn)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴由橢圓的第二定義得到，e=$\frac{|MF|}{tuht4di_{1}}$=$\frac{|NF|}{l05xmf8_{2}}$，
即有|MF|=2-$\frac{1}{2}$x₁，|NF|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
設(shè)∠MFN的外角平分線與l交于點(diǎn)P（m，n），
∴$\frac{|MF|}{|NF|}$=$\frac{|MP|}{|NP|}$，即有$\frac{{x}_{1}-m}{{x}_{2}-m}$=$\frac{2-\frac{1}{2}{x}_{1}}{2-\frac{1}{2}{x}_{2}}$，
化簡(jiǎn)可得2（x₁-x₂）=$\frac{1}{2}$m（x₁-x₂），
由x₁≠x₂，可得m=4．
則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的第二定義和性質(zhì)，考查外角平分線性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．