【題目】已知是數(shù)列的前項和,且,,數(shù)列中,,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求的前項和;
(3)證明:對一切,
【答案】(1)或;(2);(3)見解析
【解析】
(1)當時,構(gòu)造,變形為,再求數(shù)列的通項公式;
(2)由已知變形為,利用累加法求數(shù)列的通項公式,然后再求數(shù)列的通項公式,利用錯位相減法求和;
(3)表示求數(shù)列的前項和,然后將通項放縮為時,,然后利用裂項相消法求和.
(1)時,可得,
時,,,兩式相減,
得 ,,
,
數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成以4為公差的等差數(shù)列,
當,時,,
當,時, ,
,.
(2) ,
,即 ,
整理為:,
,
,
,
…………………………,
,時,
這個式子相加可得 ,
,當時,成立,
,,
,
,
,
兩式相減可得:
,
(3)表示求數(shù)列的前項和,設(shè)前項和為,
當時,成立,
當時,
.
綜上可知,
對一切,.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)證明:的導函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點;
(2)若對任意,均存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.
注:復合函數(shù)的導函數(shù).
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【題目】[選修4―4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.
(1)若a=1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l的距離的最大值為,求a.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【題目】2018年森林城市建設(shè)座談會在深圳舉行.會上宣讀了國家森林城市稱號批準決定,并舉行授牌儀式,滕州市榜上有名,被正式批準為“國家森林城市”.為進一步推進國家森林城市建設(shè),我市準備制定生態(tài)環(huán)境改造投資方案,該方案要求同時具備下列兩個條件:
①每年用于風景區(qū)改造的費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加;②每年用于風景區(qū)改造的費用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%,但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的25%.若每年改造生態(tài)環(huán)境的總費用至少1億元,至多4億元;請你分析能否采用函數(shù)模型作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案.
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【題目】已知圓C經(jīng)過點,且與直線相切, 圓心C在直線上.
(1)求圓C的方程;
(2)過原點的直線截圓C所得的弦長為2,求直線的方程.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,是邊長為2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,,且.
(1)若,求證:平面BDE;
(2)若二面角為,求直線CD與平面BDE所成角.
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【題目】已知橢圓的離心率為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的焦點在軸上,點為坐標原點,射線、分別與橢圓交于點、點,且,試判斷直線與圓:的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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