Question

正四棱錐S-ABCD中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，M為SA中點(diǎn)，N為棱SC中點(diǎn)，求異面直線DM與BN所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：作SO⊥底面ABCD，交底面于O，取AB中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OF為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DM與BN所成角的余弦值．

解答： 解：作SO⊥底面ABCD，交底面于O，取AB中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，
以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OF為y軸，OS為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
D（-

a

2

，-

a

2

，0），A（

a

2

，-

a

2

，0），S（0，0，

14

2

a），C（-

a

2

，

a

2

，0），
M（

a

4

，-

a

4

，

14

4

a），N（-

a

4

，

a

4

，

14

4

a），B（

a

2

，

a

2

，0），

DM

=（

3a

4

，

a

4

，

14

4

a），

BN

=（-

3a

4

，-

a

4

，

14

4

a），
|cos＜

DM

，

BN

＞|=|-

9a2

16

+

a2

16

+

14

16

a2|
=

- 9a2 16 - a2 16 + 14 16 a2

9a2 16 + a2 16 + 14 16 a2 • 9a2 16 + a2 16 + 14 16 a2

=

1

6

．
∴異面直線DM與BN所成角的余弦值為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．