Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=\sqrt{{e^x}+2x-a}$，若曲線y=cosx上存在點(diǎn)（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，e]
• B． [e^-1-1，1]
• C． [1，e+1]
• D． [e^-1-1，e+1]

Answer 1

分析 考查題設(shè)中的條件，函數(shù)f（f（y₀））的解析式不易得出，直接求最值有困難，考察四個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)特值區(qū)分開(kāi)了四個(gè)選項(xiàng)，0出現(xiàn)在了B，D兩個(gè)選項(xiàng)的范圍中，e+1出現(xiàn)在了C，D兩個(gè)選項(xiàng)所給的范圍中，故可通過(guò)驗(yàn)證參數(shù)為0與e+1時(shí)是否符合題意判斷出正確選項(xiàng)．

解答 解：曲線y=cosx上存在點(diǎn)（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則y₀∈[-1，1]
考查四個(gè)選項(xiàng)，B，D兩個(gè)選項(xiàng)中參數(shù)值都可取0，C，D兩個(gè)選項(xiàng)中參數(shù)都可取e+1，
A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)參數(shù)都可取1，
由此可先驗(yàn)證參數(shù)為0與e+1時(shí)是否符合題意，即可得出正確選項(xiàng)
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+2x}$，是一個(gè)增函數(shù)，且函數(shù)值恒非負(fù)，
故只研究y₀∈[0，1]時(shí)f（f（y₀））=y₀是否成立
由于f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+2x}$是一個(gè)增函數(shù)，可得出f（y₀）≥f（0）=1，
而f（1）=$\sqrt{e+2}$＞1，故a=0符合題意，由此知A、C兩個(gè)選項(xiàng)不正確
當(dāng)a=e+1時(shí)，f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+2x-e-1}$，此函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，
f（1）=$\sqrt{e+2-e-1}$=1，f（f（1））=f（1）=1，
故a=e+1符合題意，故A，B兩個(gè)選項(xiàng)不正確
綜上討論知，可確定A、B，C三個(gè)選項(xiàng)不正確．
故D選項(xiàng)正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵與切入點(diǎn)是觀察出四個(gè)選項(xiàng)中同與不同點(diǎn)，判斷出參數(shù)0與e+1是兩個(gè)特殊值，結(jié)合排除法做題的技巧及函數(shù)的性質(zhì)判斷出正確選項(xiàng)，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，觀察探究的能力，屬于考查能力的綜合題，易因?yàn)檎也坏饺胧痔幹率篃o(wú)法解答失分，易錯(cuò)．