Question

19．已知兩個(gè)單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，且滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，存在向量$\overrightarrow{c}$使cos（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由∠AOB=120°，∠ACB=60°可知C在圓弧上運(yùn)動(dòng)，作出圖形得出|$\overrightarrow{c}$|取得最大值時(shí)的位置，利用正弦定理求出外接圓直徑．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為120°，
不妨設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，∵cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=60°，
∴C在圓x²+y²=1的優(yōu)弧$\widehat{AB}$上或C在△AOB的外接圓的優(yōu)弧$\widehat{AB}$上．
顯然|$\overrightarrow{c}$|得最大值為△AOB的外接圓直徑．
由正弦定理可知外接圓直徑2R=$\frac{OA}{sin∠ABO}$=$\frac{1}{sin30°}$=2，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值為2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算，正弦定理得應(yīng)用，屬于中檔題．