Question

設(shè)f(2cosx-1)=1-cos2x(x∈[

π

3

，

2π

3

])，則f（x）的值域?yàn)?!--BA-->

[

3

4

，1]

．

Answer 1

分析：2cosx-1=t，則cosx=

t+1

2

，由條件求出f（t）的解析式．根據(jù)x的范圍求出t 的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出
f（t）的最值，即得f（x）的值域．

解答：解：令2cosx-1=t，則cosx=

t+1

2

，故由 f(2cosx-1)=1-cos2x(x∈[

π

3

，

2π

3

])可得
f（t）=1-(

t+1

2

)2=

3-t2-2t

4

=

4-(t+1)2

4

．
再由 x∈[

π

3

，

2π

3

]，可得-

1

2

≤cosx≤

1

2

，故-2≤t≤0．
-3≤t≤1可得當(dāng)t=-1時(shí)，f（t） 有最大值等于1，
當(dāng)t=-2或0時(shí)，f（t） 有最小值等于 

3

4

．
故f（x）的值域?yàn)?[

3

4

，1]．
故答案為[

3

4

，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．