12.如圖,已知正方形OABC邊長為3,點M,N分別為線段BC,AB上一點,且2BM=MC,AN=NB,P為△BNM內(nèi)一點(含邊界),設(shè)$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$(λ,μ為實數(shù)),則$λ-\frac{1}{3}μ$的最大值為$\frac{5}{6}$.

分析 如圖,以O(shè)A為x軸,以O(shè)C為y軸,建立直角坐標系,表示各點的坐標,根據(jù)向量的坐標運算得到λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$(3x-y),構(gòu)造目標函數(shù),利用可行域即可求出最值.

解答 解:如圖,以O(shè)A為x軸,以O(shè)C為y軸,建立直角坐標系,
則O(0,0),A(3,0),C(0.3),B(3,3),
∵2BM=MC,AN=NB,
∴M(1,3),N(3,$\frac{3}{2}$),
設(shè)P(x,y),
∵$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$(λ,μ為實數(shù)),
∴$\overrightarrow{OP}$=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ),
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x}{3}}\\{μ=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$,
∴λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$(3x-y),
令z=3x-y,即y=3x-z,
由M(1,3),N(3,$\frac{3}{2}$),得到直線MN的方程為3x+4x-15=0,
則x,y滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{\frac{3}{2}≤y≤3}\\{3x+4y-15≥0}\end{array}\right.$,如圖所示,
當目標函數(shù)z=3x-y,過點N(3,$\frac{3}{2}$)時,Z最大,
則zmax=3×3-$\frac{3}{2}$=9-$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$,
∴(λ$-\frac{1}{3}μ$)max=$\frac{1}{9}$×$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{6}$
故答案為:$\frac{5}{6}$

點評 本題考查了向量的坐標運算和和線性規(guī)劃的問題,關(guān)鍵是構(gòu)造目標函數(shù),屬于中檔題.

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