Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，
AD=4，∠PAD=60°．
（1）若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面PBC；
（2）求三棱錐D-PBC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面幾何知識(shí)求出AB，取PB中點(diǎn)N，連接MN，CN．根據(jù)中位線定理和平行公理可得四邊形MNCD是平行四邊形，得出DM∥CN，故而有DM∥平面PBC；
（2）利用特殊角的性質(zhì)得出PD，計(jì)算棱錐的底面△BCD的面積，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答 （1）證明：過(guò)C作CE⊥AB與E
則AE=CD=3，CE=AD=4，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}=3$，
∴AB=AE+BE=6．
取PB中點(diǎn)N，連接MN，CN．
則MN是△PAB的中位線，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB=3，
又CD∥AB，CD=3，
∴MN∥CD，MN=CD，
∴四邊形MNCD為平行四邊形，
∴DM∥CN，又DM?平面PBC，CN?平面PBC，
∴DM∥平面PBC．
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，∵∠PAD=60°，
∴PD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$．
又S_△DBC=$\frac{1}{2}CD×AD$=6，
∴V_D-PBC=V_P-DBC=$\frac{1}{3}$S_△DBC•PD=$\frac{1}{3}×6×4\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．