Question

19．已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（1+x）=f（1-x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=3^x-1；若關(guān)于x的方程$f（x）-{log_m}\frac{1}{x+2}=0$在x∈[0，5]上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（0\;，\;\frac{{\sqrt{7}}}{7}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{7}}}{7}\;，\;1）$
• C． $（\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{7}}}{7}\;，\;\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$

Answer 1

分析 由已知的偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（1+x）=f（1-x），得到函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1并且周期為2，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出f（x）以及y=$lo{g}_{m}\frac{1}{x+2}$的圖象，由在x∈[0，5]上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到函數(shù)圖象交點(diǎn)為4個(gè)的時(shí)候?qū)��?yīng)的m 的范圍．

解答 解：因?yàn)榕己瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（1+x）=f（1-x），所以f（1+x）=f（x-1），得到函數(shù)的正確為2，且關(guān)于x=n，n∈N對(duì)稱，函數(shù)f（x）以及y=log${\;}_{m}\frac{1}{x+2}$=-log_m（x+2）的圖象如圖，要使關(guān)于x的方程$f（x）-{log_m}\frac{1}{x+2}=0$在x∈[0，5]上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{-lo{g}_{m}（5+2）＞{3}^{5-4}-1}\\{-lo{g}_{m}（3+2）＜{3}^{3-2}-1}\end{array}\right.$
解得$\frac{\sqrt{7}}{7}＜m＜\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{\sqrt{7}}{7}，\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)求方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題；正確畫圖并且識(shí)圖是關(guān)鍵．