Question

【題目】給定函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得對(duì)定義域內(nèi)的所有，恒成立，則稱為“函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)，是不是“函數(shù)”；

（2）若是一個(gè)“函數(shù)”，求所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；

（3）若定義域?yàn)?/span>的函數(shù)為“函數(shù)”,且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求當(dāng)時(shí), 函數(shù)的值域

Answer 1

【答案】是,理由見解析;;

【解析】

分別假設(shè)函數(shù)，是“函數(shù)”，列出方程對(duì)任意恒成立即可;

根據(jù)題中的定義,列出方程對(duì)任意恒成立,通過整理化簡(jiǎn),令未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的對(duì)應(yīng)相等求出滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)即可;

根據(jù)題中的定義,列出兩個(gè)恒等式成立,將用替換,兩等式結(jié)合得到函數(shù)值的遞推關(guān)系,用不完全歸納法求出值域.

函數(shù)，是“函數(shù)”,理由如下:

對(duì)于函數(shù),因?yàn)?/span>,

所以要使對(duì)定義域內(nèi)的所有，恒成立,只需實(shí)數(shù)對(duì)滿足即可,這樣的實(shí)數(shù)對(duì)有無數(shù)對(duì),故函數(shù)是“函數(shù)”;

對(duì)于函數(shù),因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立,

所以要使對(duì)定義域內(nèi)的所有，恒成立,只需實(shí)數(shù)對(duì)滿足即可, 這樣的實(shí)數(shù)對(duì)有無數(shù)對(duì),故函數(shù)是“函數(shù)”.

因?yàn)?/span>是一個(gè)“函數(shù)”,

所以對(duì)于任意恒成立,

因?yàn)?/span>,

所以對(duì)于任意恒成立,解得,

所以所求的有序?qū)崝?shù)對(duì)為.

由題意知, ,

因?yàn)?/span>,

即有,當(dāng)時(shí),,

因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?/span>,,

所以的值域?yàn)?/span>,即時(shí),,

因?yàn)?/span>所以,

所以時(shí),；時(shí),，

依次類推,時(shí),,

所以時(shí),,

即有時(shí),,

又因?yàn)?/span>,所以時(shí),，

綜上可知, 當(dāng)時(shí), 函數(shù)的值域?yàn)?/span>.