Question

9．如右圖所示，PA為圓O的切線，切點(diǎn)為A，AC是直徑，M為PA的中點(diǎn)，MC與圓交于點(diǎn)B．
求證：（I）PM²=MB•MC
（Ⅱ）∠MBP+∠ACP=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)切割線定理，得到AM是MB和MC的比例中項(xiàng)，結(jié)合AM=MP即可證明PM²=MB•MC；
（Ⅱ）由MP²=MB•MC得$\frac{PM}{MC}$=$\frac{MB}{PM}$，再結(jié)合公共角∠BMP=∠PMC，得三角形BMP與三角形PMC相似，從而得到對(duì)應(yīng)角相等，命題得證．

解答 證明：（Ⅰ）∵AM切圓于點(diǎn)A
∴AM²=MB•MC
又∵M(jìn)為PA中點(diǎn)，AM=MP
∴MP²=MB•MC；
（Ⅱ）∵M(jìn)P²=MB•MC，
∴$\frac{PM}{MC}$=$\frac{MB}{PM}$，
又∵∠BMP=∠PMC
∴△BMP∽△PMC（邊角邊）
∴∠MBP=∠MPC．
∵PA為圓O的切線，切點(diǎn)為A，AC是直徑，
∴∠MBP+∠ACP=∠MPC+∠ACP=$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓當(dāng)中的比例線段，以及三角形相似的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．找到題中的相似三角形來證明角的相等，是解決本題的關(guān)鍵．