【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率.以?xún)蓚(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為8,面積為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn).

【答案】(I);(II)詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:

(1)利用題意求得, ,橢圓的方程為

(2)首先討論當(dāng)的情況,否則聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合直線的特點(diǎn)整理可得直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn).

試題解析:(Ⅰ)依題意,設(shè)橢圓的方程為,焦距為,

由題設(shè)條件知, , ,

,

所以 ,或, (經(jīng)檢驗(yàn)不合題意舍去),

故橢圓的方程為

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),由,可得,

當(dāng), 時(shí),直線的方程為,直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng) 時(shí),直線的方程為,直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)時(shí),直線的方程為,聯(lián)立方程組

消去,得.①

由點(diǎn)為曲線上一點(diǎn),得,可得

于是方程①可以化簡(jiǎn)為,解得,

代入方程可得,故直線與曲線有且有一個(gè)交點(diǎn),

綜上,直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)為

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