Question

已知函數(shù)f（x）=

cx+1(0＜x＜c) 2- x c2 +1(c≤x＜1)

滿足f（c²）=

9

8

．
（1）求常數(shù)c的值；
（2）求使f（x）＞

2

8

+1成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，判定c²＜c，利用分段函數(shù)求f（c²），得出c的值；
（2）由c的值得f（x）的解析式，分段求出不等式f(x)＞

2

8

+1的解集．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，得；
0＜c＜1，∴c²＜c；
∴f（c²）=c²•c+1=

9

8

，
即c³=

1

8

，
∴c=

1

2

；
（2）由（1）得，
f(x)=

1 2 x+1，(0＜x＜ 1 2 ) 2-4x+1，( 1 2 ≤x＜1)

；
∵f(x)＞

2

8

+1，
∴當(dāng)0＜x＜

1

2

時，

1

2

x+1＞

2

8

+1，∴x＞

2

4

，即

2

4

＜x＜

1

2

；
當(dāng)

1

2

≤x＜1時，2^-4x+1＞

2

8

+1，∴(

1

2

)4x＞(

1

2

)

5

2

，∴x＜

5

8

，即

1

2

≤x＜

5

8

；
∴f(x)＞

2

8

+1的解集為{x|

2

4

＜x＜

5

8

}．

點評：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)分段討論函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．