Question

12．對于任意實(shí)數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[2.2]=2，[-3.5]=-4，設(shè)數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…[log₂（2ⁿ-1）]．
（Ⅰ）求a₁•a₂•a₃的值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得a_n=（n-2）•2ⁿ+a（n∈N^*），并說明理由．

Answer 1

分析 （1）計算a₁=0，故a₁•a₂•a₃=0；
（2）根據(jù)對數(shù)性質(zhì)得出a_n=1•0+2•1+2²•2+2³•3+…+2^n-1•（n-1），使用錯位相減法求出a_n，得出a的值．

解答 解：（I）a₁=[log₂1]=0，a₂=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]=0+1+1=2，
a₃=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂7]=0+1+1+2+2+2+2=10．
∴a₁•a₂•a₃=0．
（II）當(dāng)2^n-1≤x≤2ⁿ-1時，[log₂x]=n-1．
∴[log₂2^n-1]+[log₂2^n-1+1]+[log₂2^n-1+2]+…+[log₂（2ⁿ-1）]=（n-1）（2ⁿ-1-2^n-1+1）=2^n-1（n-1）．
∴a_n=1•0+2•1+2²•2+2³•3+…+2^n-1•（n-1），①
∴2a_n=2²•1+2³•2+2⁴•3+…+2ⁿ•（n-1），②
②-①得：a_n=-2²-2³-2⁴-…-2^n-1+2ⁿ•（n-1）-2
=-$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$+2ⁿ•（n-1）-2
=2ⁿ•（n-2）+2．
又a_n=（n-2）•2ⁿ+a，
∴a=2．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)列求和的應(yīng)用，屬于中檔題．