Question

17．已知拋物線C：y²=4x，直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-1），則直線l的方程為y=-2x．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入先求得直線l的斜率．利用點(diǎn)斜式方程即可得到結(jié)論．

解答 解解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在拋物線，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
兩式作差可得：y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），
即4（x₁-x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
即AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵線段AB的中點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，-1），∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，
則y₁+y₂=-2，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{-2}$=-2．
即直線l的斜率為-2．
則對(duì)應(yīng)的方程為y+1=-2（x-$\frac{1}{2}$），
即y=-2x，
故答案為：y=-2x

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”求直線的斜率，涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，經(jīng)常使用點(diǎn)差法比較方便．